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基于概率神经网络的航天结构响应映射预示方法

周嘉明 董龙雷 赵建平 丁镇军 王潇屹

周嘉明, 董龙雷, 赵建平, 等. 基于概率神经网络的航天结构响应映射预示方法[J]. 航天器环境工程, 2023, 40(4): 392-399 doi:  10.12126/see.2023070
引用本文: 周嘉明, 董龙雷, 赵建平, 等. 基于概率神经网络的航天结构响应映射预示方法[J]. 航天器环境工程, 2023, 40(4): 392-399 doi:  10.12126/see.2023070
ZHOU J M, DONG L L, ZHAO J P, et al. Method for response mapping prediction of aerospace structures based on probabilistic neural network[J]. Spacecraft Environment Engineering, 2023, 40(4): 392-399 doi:  10.12126/see.2023070
Citation: ZHOU J M, DONG L L, ZHAO J P, et al. Method for response mapping prediction of aerospace structures based on probabilistic neural network[J]. Spacecraft Environment Engineering, 2023, 40(4): 392-399 doi:  10.12126/see.2023070

基于概率神经网络的航天结构响应映射预示方法

doi: 10.12126/see.2023070
基金项目: 装备发展部基础研究项目群(编号:514010110-206)
详细信息
    作者简介:

    周嘉明,博士研究生,研究方向为结构动力学与控制

    通讯作者:

    董龙雷,教授,研究方向为航天器综合力学环境仿真、试验与控制。

  • 中图分类号: V414; V416.2; TP183

Method for response mapping prediction of aerospace structures based on probabilistic neural network

  • 摘要: 为更好地利用地面试验数据预示飞行器在真实飞行状态下的动力学环境,考虑到复杂航天结构非线性动力学特性和响应数据中的不确定性,提出一种基于概率神经网络(probabilistic neural network, PNN)的响应映射预示方法。首先给出分布载荷下响应映射预示方法的理论基础,表明映射关系的建立与载荷源数目无关;然后分析引入PNN来建立映射关系的必要性,并重点介绍PNN方法进行响应预示的算法;最后利用某飞行器仪器舱噪声试验对所提方法进行验证,结果表明PNN方法在不同载荷量级、全频段均具有良好的预示精度。此外,分析了噪声激励下仪器舱结构的非线性动力学特性,结果表明PNN方法较矩阵映射法具有更加优异的预示精度。文章将确定性映射预示方法推广到概率映射预示方法,提高了映射预示方法的可信度和工程实用性。
  • 图  1  概率神经网络映射预示模型示意

    Figure  1.  Schematic diagram of PNN mapping prediction model

    图  2  仪器舱噪声试验传感器布置示意

    Figure  2.  Arrangement of sensors for instrument cabin noise test

    图  3  不同噪声载荷量级下PNN方法响应预示结果

    Figure  3.  Response prediction results by PNN method under different noise load levels

    图  4  仪器舱结构非线性动力学特性

    Figure  4.  Nonlinear dynamic characteristics of the instrument cabin

    表  1  直接法和PNN方法在不同频段的误差对比

    Table  1.   Error comparison between the direct method and PNN method in different frequency bands

    频率/Hz相对误差/%
    直接法PNN方法
    140 dB量级150 dB量级140 dB量级150 dB量级
    45560537.3162.82.13.7
    560355029.821.20.50.2
    355011 22027.12.60.090.06
    4511 220261.982.21.21.8
    频率/Hz绝对误差/(g2·Hz-1)
    直接法PNN方法
    140 dB量级150 dB量级140 dB量级150 dB量级
    455600.261.600.016 ($ \downarrow $94%)0.29 ($ \downarrow $82%)
    56035500.505.100.085 ($ \downarrow $83%)0.56 ($ \downarrow $89%)
    355011 2200.0210.100.0014 ($ \downarrow $93%)0.014 ($ \downarrow $86%)
    4511 2200.292.460.036 ($ \downarrow $88%)0.32 ($ \downarrow $87%)
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    表  2  三种方法的响应预示精度对比

    Table  2.   Comparison of response prediction accuracy among three methods

    方法均方误差/%绝对误差/(g2·Hz-1)
    直接法979.3 ± 3516.64.2 ± 5.4
    矩阵映射方法22.3 ± 128.21.6 ± 2.0
    PNN方法2.7 ± 3.30.9 ± 1.2
    下载: 导出CSV
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  • 通讯作者:  董龙雷, dongll@xjtu.edu.cn
  • 中图分类号:  V414; V416.2; TP183
  • 收稿日期:  2022-11-30
  • 修回日期:  2023-07-20
  • 刊出日期:  2023-08-20

基于概率神经网络的航天结构响应映射预示方法

doi: 10.12126/see.2023070
    基金项目:  装备发展部基础研究项目群(编号:514010110-206)
    作者简介:

    周嘉明,博士研究生,研究方向为结构动力学与控制

    通讯作者: 董龙雷,教授,研究方向为航天器综合力学环境仿真、试验与控制。
  • 中图分类号: V414; V416.2; TP183

摘要: 为更好地利用地面试验数据预示飞行器在真实飞行状态下的动力学环境,考虑到复杂航天结构非线性动力学特性和响应数据中的不确定性,提出一种基于概率神经网络(probabilistic neural network, PNN)的响应映射预示方法。首先给出分布载荷下响应映射预示方法的理论基础,表明映射关系的建立与载荷源数目无关;然后分析引入PNN来建立映射关系的必要性,并重点介绍PNN方法进行响应预示的算法;最后利用某飞行器仪器舱噪声试验对所提方法进行验证,结果表明PNN方法在不同载荷量级、全频段均具有良好的预示精度。此外,分析了噪声激励下仪器舱结构的非线性动力学特性,结果表明PNN方法较矩阵映射法具有更加优异的预示精度。文章将确定性映射预示方法推广到概率映射预示方法,提高了映射预示方法的可信度和工程实用性。

English Abstract

周嘉明, 董龙雷, 赵建平, 等. 基于概率神经网络的航天结构响应映射预示方法[J]. 航天器环境工程, 2023, 40(4): 392-399 doi:  10.12126/see.2023070
引用本文: 周嘉明, 董龙雷, 赵建平, 等. 基于概率神经网络的航天结构响应映射预示方法[J]. 航天器环境工程, 2023, 40(4): 392-399 doi:  10.12126/see.2023070
ZHOU J M, DONG L L, ZHAO J P, et al. Method for response mapping prediction of aerospace structures based on probabilistic neural network[J]. Spacecraft Environment Engineering, 2023, 40(4): 392-399 doi:  10.12126/see.2023070
Citation: ZHOU J M, DONG L L, ZHAO J P, et al. Method for response mapping prediction of aerospace structures based on probabilistic neural network[J]. Spacecraft Environment Engineering, 2023, 40(4): 392-399 doi:  10.12126/see.2023070
    • 动力学环境预示是飞行器总体设计中的关键环节[1-3]。传统动力学环境预示方法的一般过程是:首先建立结构动力学模型,然后确定结构承受的载荷条件,最终通过数值方法求解得到结构响应。传统预示方法的准确性完全取决于动力学模型和载荷条件的准确性,然而非线性和不确定因素对结构动力学建模技术提出了不小的挑战[4-6],且确定载荷条件的难度往往高于动力学建模。不准确的动力学模型和载荷条件使传统预示方法的精度不高,导致飞行器结构普遍存在“过设计”和“过试验”的问题。

      地面试验数据和飞行遥测数据是飞行器动力学环境预示的重要参考依据。目前,我国航天部门已经积累了大量的地面试验数据和飞行遥测数据[2]。相比于传统方法,试验数据驱动的动力学环境预示[7-8]具有重要价值,然而地面试验状态和飞行状态下结构边界的差异性会导致动力学环境的天地不一致,使得地面试验数据的可信度不高。实际上,这种天地不一致问题在航天领域普遍存在,例如,高超声速飞行器X-43A的风洞试验气动力数据与飞行试验数据之间的偏差较大[9]。而相对于气动力这一静态数据[10-13]来说,动力学环境这一动态时间序列数据的天地转换会更加困难。

      针对动力学环境天地转换问题,阎桂荣教授和董龙雷教授提出了一种基于映射关系模型的动力学环境预示方法[14-16],本文将其称为响应映射预示方法。该方法基于以下假设:在地面试验状态和飞行状态下,结构动力学特性的差异主要源于结构边界条件的不同,在载荷等效的前提下天地之间存在确定的响应映射关系,且这一映射关系可以从数据中挖掘获得,从而实现地面试验状态到实际飞行状态的动力学环境预示。然而,结构在不同边界下承受的载荷很难实现严格意义上的相等,这就意味着响应数据映射存在不确定性。此外,随着飞行器服役条件更恶劣、耦合效应更显著,飞行器结构动力学参数的不确定性也逐渐凸显,使地面试验状态和实际飞行状态下结构的传递特性发生一定的变化,即使保证载荷条件严格相等,响应映射关系也必然存在不确定性,这使得现有响应映射预示方法的可信度无法准确评估。

      本文考虑飞行器结构响应数据中蕴含的不确定性,提出一种基于概率神经网络(probabilistic neural network, PNN)的映射预示方法,通过引入概率统计思想,将确定性映射预示方法推广到概率映射预示方法。

    • 本文将无任何外部边界约束下的结构称为基础结构,而基础结构在地面试验状态(边界I)和实际飞行状态(边界II)下的边界条件必然存在差异,因此将基础结构和边界I组成的系统称为系统I,即地面试验状态;将基础结构和边界II组成的系统称为系统II,即实际飞行状态。响应映射预示方法的目的是将系统I的响应经过映射转换得到系统II的响应,从而避免由边界差异导致的响应天地不一致性。

      单源载荷激励下,系统I和系统II的频域动力学响应可以表示为

      $$ \left\{\begin{array}{c}{\hat{\boldsymbol{x}}}_{1}={\hat{\boldsymbol{h}}}_{1}\cdot {\hat{\boldsymbol{f}}}_{1}\\ {\hat{\boldsymbol{x}}}_{2}={\hat{\boldsymbol{h}}}_{2}\cdot {\hat{\boldsymbol{f}}}_{2}\end{array}\right. \text{,} $$ (1)

      式中:$ {\hat{\boldsymbol{h}}}_{1},{\hat{\boldsymbol{h}}}_{2}\in {\mathbb{R}}^{{l}_{\text{f}}} $,分别表示系统I和系统II上载荷位置到响应位置处的频响函数,其中$ {l}_{\text f} $表示离散频点的个数;$ \,{\hat{\boldsymbol{f}}}_{1},\,{\hat{\boldsymbol{f}}}_{2}\in {\mathbb{R}}^{{l}_{\text{f}}} $,分别表示频域的外载荷;$ {\hat{\boldsymbol{x}}}_{1},{\hat{\boldsymbol{x}}}_{2}\in {\mathbb{R}}^{{l}_{\text{f}}} $,分别表示频域的动力学响应。需要说明的是,结构动力学响应计算在时域上是卷积形式,而在频域上则是逐频点相乘形式,因此频域响应计算在每一个频点上均独立。以第$\, {k} $个频点$\, {\omega}_{k} $为例,其响应的计算表达式为

      $$ \left\{\begin{array}{c}{\hat{x}}_{1,{\omega }_{k}}={\hat{h}}_{1,{\omega }_{k}}{\hat{f}}_{1,{\omega }_{k}}\\ {\hat{x}}_{2,{\omega }_{k}}={\hat{h}}_{2,{\omega }_{k}}{\hat{f}}_{2,{\omega }_{k}}\end{array}\right. 。 $$ (2)

      响应映射预示方法[14]认为:在外载荷相同的条件下,同一个基础结构在不同边界下的响应之间存在映射关系,并将描述这一映射关系的模型称为映射模型。不难发现,响应映射预示方法的一个重要前提是结构在两种边界下承受的外载荷相等,即$ \,{\hat{f}}_{1,{\omega }_{k}}={\hat{f}}_{2,{\omega }_{k}} $。此时第$ \, {k} $个频点$ \,{\omega }_{k} $处的响应$\, {\hat{x}}_{1,{\omega }_{k}} $$\, {\hat{x}}_{2,{\omega }_{k}} $之间的映射关系可以描述为

      $$ {\hat{x}}_{2,{\omega }_{k}}={\hat{t}}_{{\omega }_{k}}{\hat{x}}_{1,{\omega }_{k}}=\frac{{\hat{h}}_{2,{\omega }_{k}}}{{\hat{h}}_{1,{\omega }_{k}}}{\hat{x}}_{1,{\omega }_{k}} 。 $$ (3)

      显然,在所有的${l}_{\text{f}} $个频点上响应$ {\hat{\boldsymbol{x}}}_{1} $$ {\hat{\boldsymbol{x}}}_{2} $之间的映射关系可以通过一个映射向量$ \hat{\boldsymbol{t}}\in {\mathbb{R}}^{{l}_{\text{f}}} $表示为

      $$ {\hat{\boldsymbol{x}}}_{2}=\hat{\boldsymbol{t}}\cdot {\hat{\boldsymbol{x}}}_{1} 。 $$ (4)
    • 在单源载荷下响应映射预示方法的基础上,本节进一步给出分布载荷下响应映射预示方法的理论基础。考虑线性时不变结构,根据响应的线性叠加原理,在m个载荷激励下,系统I上n个位置处第k个频点$ {\omega }_{k} $处的响应$ {\hat{\boldsymbol{x}}}_{1,{\omega }_{k}}={\left[{\hat{x}}_{1,{\omega }_{k}}^{1},{\hat{x}}_{1,{\omega }_{k}}^{2},\cdots ,{\hat{x}}_{1,{\omega }_{k}}^{n}\right]}^{\text{T}} $

      $$ \left[ \begin{array}{c}{\hat{x}}_{1,{\omega }_{k}}^{1}\\ {\hat{x}}_{1,{\omega }_{k}}^{2}\\ \vdots\\ {\hat{x}}_{1,{\omega }_{k}}^{j}\\ \vdots\\ {\hat{x}}_{1,{\omega }_{k}}^{n}\end{array} \right] = \left[ \begin{array}{cccccc}{\hat{h}}_{1,{\omega }_{k}}^{\mathrm{1,1}}& {\hat{h}}_{1,{\omega }_{k}}^{\mathrm{1,2}}& \cdots & {\hat{h}}_{1,{\omega }_{k}}^{1,i}& \cdots & {\hat{h}}_{1,{\omega }_{k}}^{1,m}\\ {\hat{h}}_{1,{\omega }_{k}}^{\mathrm{2,1}}& {\hat{h}}_{1,{\omega }_{k}}^{\mathrm{2,2}}& \cdots & {\hat{h}}_{1,{\omega }_{k}}^{2,i}& \cdots & {\hat{h}}_{1,{\omega }_{k}}^{2,m}\\ \vdots& \vdots& \ddots & \vdots& \ddots & \vdots\\ {\hat{h}}_{1,{\omega }_{k}}^{j,1}& {\hat{h}}_{1,{\omega }_{k}}^{j,2}& \cdots & {\hat{h}}_{1,{\omega }_{k}}^{j,i}& \cdots & {\hat{h}}_{1,{\omega }_{k}}^{j,m}\\ \vdots& \vdots& \ddots & \vdots& \ddots & \vdots\\ {\hat{h}}_{1,{\omega }_{k}}^{n,1}& {\hat{h}}_{1,{\omega }_{k}}^{n,2}& \cdots & {\hat{h}}_{1,{\omega }_{k}}^{n,i}& \cdots & {\hat{h}}_{1,{\omega }_{k}}^{n,m}\end{array} \right]\left[ \begin{array}{c}{\hat{f}}_{1,{\omega }_{k}}^{1}\\ {\hat{f}}_{1,{\omega }_{k}}^{2}\\ \vdots\\ {\hat{f}}_{1,{\omega }_{k}}^{i}\\ \vdots\\ {\hat{f}}_{1,{\omega }_{k}}^{m}\end{array} \right] \text{,} $$ (5)

      式中:$ {\hat{x}}_{1,{\omega}_{k}}^{j} $表示系统I上第$ {j} $个位置处第$ {k} $个频点的响应;$ {\hat{f}}_{1,{\omega }_{k}}^{i} $表示系统I上第$ {i} $个位置处第$ {k} $个频点的载荷;$ {\hat{h}}_{1,{\omega}_{k}}^{j,i} $表示系统I上第$ {k} $个频点处位置$ {i} $到位置${j} $的传递比,其中$ {i}=1,2,\cdots ,{m} $$ {j}=1,2,\cdots ,{n} $。式(5)的简化形式为

      $$ {\hat{\boldsymbol{x}}}_{1,{\omega }_{k}}={\hat{\boldsymbol{H}}}_{1,{\omega }_{k}}{\hat{\boldsymbol{f}}}_{1,{\omega }_{k}} 。 $$ (6)

      同理,系统II上$ {n} $位置处第${k} $个频点$ {\omega }_{k} $的响应$ {\hat{\boldsymbol{x}}}_{2,{\omega }_{k}}\in {\mathbb{R}}^{n} $

      $$ {\hat{\boldsymbol{x}}}_{2,{\omega }_{k}}={\hat{\boldsymbol{H}}}_{2,{\omega }_{k}}{\hat{\boldsymbol{f}}}_{2,{\omega }_{k}} 。 $$ (7)

      根据载荷相等原则$ {\hat{\boldsymbol{f}}}_{1,{\omega }_{k}}={\hat{\boldsymbol{f}}}_{2,{\omega }_{k}} $,将式(7)代入式(6)中,响应$ {\hat{\boldsymbol{x}}}_{2,{\omega }_{k}} $$ {\hat{\boldsymbol{x}}}_{1,{\omega }_{k}} $之间的映射关系可以通过一个转换矩阵$ {\hat{\boldsymbol{T}}}_{{\omega }_{k}}\in {\mathbb{R}}^{n \times n} $表示为

      $$ \left\{\begin{array}{l}{\hat{\boldsymbol{x}}}_{2,{\omega }_{k}}={\hat{\boldsymbol{T}}}_{{\omega }_{k}}{\hat{\boldsymbol{x}}}_{1,{\omega }_{k}}\\ {\hat{\boldsymbol{T}}}_{{\omega }_{k}}={\hat{\boldsymbol{H}}}_{2,{\omega }_{k}}{({\hat{\boldsymbol{H}}}_{1,{\omega }_{k}})}^{\text{†}}\end{array}\right. 。 $$ (8)

      以此类推,多源载荷下每个频点处响应$ {\hat{\boldsymbol{x}}}_{2,{\omega }_{k}} $$ {\hat{\boldsymbol{x}}}_{1,{\omega}_{k}} $之间的映射关系均可以通过一个转换矩阵表示,因此只需要根据频域响应数据确定$ {l}_{\text{f}} $个转换矩阵,即可实现所有频点下的响应预示。为了便于描述,本文将频点$ {\omega}_{k} $处的映射模型记为$ {\mathcal{T}}_{{\omega}_{k}} $,因此式(8)可以简洁地表示为$ {\mathcal{T}}_{{\omega}_{k}}:{\hat{\boldsymbol{x}}}_{2,{\omega }_{k}} \mapsto{\hat{\boldsymbol{x}}}_{1,{\omega }_{k}} $。所有$ {l}_{\text{f}} $个频点处的映射模型组成集合$ {\boldsymbol{\mathcal{T}}}_{\boldsymbol{\omega}}=\left\{{\mathcal{T}}_{{\omega }_{1}},{\mathcal{T}}_{{\omega }_{2}},\cdots ,{\mathcal{T}}_{{\omega }_{{l}_{\text{f}}}}\right\} $即为结构的响应映射预示模型,可通过数据驱动方法获得。映射模型一旦确定,就可以将地面试验的响应数据输入到映射模型中,以预示实际飞行状态下结构的响应。

      响应映射预示方法中响应测点的数量不受载荷源的限制,这是响应映射预示方法能够在分布载荷场景下发挥作用的关键,也是响应映射预示方法的一大亮点。分析式(8)可知,转换矩阵$ {\hat{\boldsymbol{T}}}_{{\mathit{\omega }}_{\mathit{k}}} $的维数为$ \mathit{n}\times \mathit{n} $,与载荷源数量$ \mathit{m} $无关,这就意味着响应测点数量可以远远小于载荷源的数量,从而确保该方法在分布载荷下的工程实用性。

    • 对于线性结构而言,不同边界下响应之间的映射关系可以通过一个矩阵进行描述。对于航天工程结构中蕴含复杂非线性特性的结构而言,不同边界下响应之间也必然存在映射关系,只不过该映射关系不再是一个简单的矩阵,因此矩阵映射法的效果有限。以神经网络为代表的人工智能方法在此问题上具有明显的优势,既适用于线性结构,也适用于非线性结构,通用性良好。

      大量工程实践表明结构响应数据中存在的不确定性主要源于以下3个方面:

      1)严格意义上的载荷相等难以实现。受试验设备加载控制误差等不可避免因素的影响,确保结构在不同边界下承受完全相同的载荷条件非常困难,实际工程应用中只能做到载荷近似相等,这种近似过程会对响应映射预示方法的准确性产生影响。

      2)结构动力学传递特性的不确定性。由于实际航天工程结构非常复杂,在响应预示频段较宽的情况下,结构的动力学传递特性会存在很大的不确定性,这就意味着即使在载荷相等的条件下,响应之间的关系也无法通过一个确定的映射关系来描述。

      3)传感器测量噪声。结构响应的测量数据中一定含有传感器的电噪声,噪声水平会随不同状态下测量设备、传感器型号等硬件的差异而波动。

      综上所述,结构响应数据中含有的大量不确定性是无法避免的,而确定性神经网络映射模型无法描述数据中的不确定性。为了能够更好地度量数据中的不确定性,本文采用概率神经网络来建立响应映射预示模型。

    • 本文采用概率神经网络$ {\mathcal{T}}_{{\omega }_{k}}{|}_{{\boldsymbol{\theta }}_{{\omega }_{k}}} $来表示映射模型$ {\mathcal{T}}_{{\omega }_{k}} $,概率神经网络如图1所示。

      图  1  概率神经网络映射预示模型示意

      Figure 1.  Schematic diagram of PNN mapping prediction model

      与传统的神经网络相比,概率神经网络最鲜明的特点在于其含有一个概率输出层(probabilistic output layer),该层每个神经元的输出不再是一个确定的标量$ {\hat{\boldsymbol{x}}}_{2,{\omega }_{k}}^{j} $,而是一个正态分布$ {\hat{\boldsymbol{x}}}_{2,{\omega }_{k}}^{j}\sim \mathcal{N}({\hat{\boldsymbol{\mu }}}_{2,{\omega }_{k}}^{j}, {\hat{\boldsymbol{\sigma }}}_{2,{\omega }_{k}}^{j}) $。本文通过这一正态分布来描述数据中的不确定性,从而给出响应预示结果的概率分布。

      $ {k} $个频点$ {\omega}_{k} $处,概率神经网络$ {\mathcal{T}}_{{\omega }_{k}}{|}_{{\boldsymbol{\theta }}_{{\omega }_{k}}} $的数学表达形式为

      $$ \left\{\begin{array}{l}\boldsymbol{h}=\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{h}\left({\boldsymbol{W}}_{1}{\hat{\boldsymbol{x}}}_{1,{\omega }_{k}}+{\boldsymbol{b}}_{1}\right)\\ \left({\hat{\boldsymbol{\mu }}}_{2,{\omega }_{k}},{\hat{\boldsymbol{\sigma }}}_{2,{\omega }_{k}}\right)={\boldsymbol{W}}_{2}\boldsymbol{h}+{\boldsymbol{b}}_{2}\end{array}\right. \text{,} $$ (9)

      式中:$ {\boldsymbol{W}}_{1} $$ {\boldsymbol{W}}_{2} $表示概率神经网络的权重矩阵;$ {\boldsymbol{b}}_{1} $$ {\boldsymbol{b}}_{2} $表示概率神经网络的偏置向量;$ \boldsymbol{h} $表示概率神经网络隐藏层(hidden layer)的输出向量;$ {\hat{\boldsymbol{\mu }}}_{2,{\omega }_{k}} $$ {\hat{\boldsymbol{\sigma }}}_{2,{\omega }_{k}} $分别表示在第$ k $个频点所有$ n $个测点处的响应预示均值和标准差。每一个频点处都可以通过一个概率神经网络$ {\boldsymbol{\mathcal{T}}}_{{\omega }_{k}}{|}_{{\boldsymbol{\theta }}_{{\omega }_{k}}} $来实现系统I到系统II之间的响应映射预示,在所有$ {l}_{\text f} $个频点上则可以通过$ {l}_{\text f} $个不同的概率神经网络来实现全频段的预示,所有$ {l}_{\text f} $个频点处的映射模型组成集合$ {{\boldsymbol{{\mathcal{T}}}}_{\boldsymbol{\omega} }|}_{\boldsymbol{\theta }}=\{{\mathcal{T}}_{{\omega }_{1}}{|}_{{\theta }_{{\omega }_{1}}}, {\mathcal{T}}_{{\omega }_{2}}{|}_{{\theta }_{{\omega }_{2}}},\cdots ,{\mathcal{T}}_{{\omega }_{{l}_{\text f}}}{|}_{{\theta }_{{\omega }_{{l}_{\text f}}}}\} $

      采用监督学习的方式可确定概率神经网络$ {\mathcal{T}}_{{\omega }_{k}}{|}_{{\boldsymbol{\theta }}_{{\omega }_{k}}} $的最优参数$ {\boldsymbol{\theta }}_{{\omega }_{k}}^{\mathrm{*}}={\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}_{{\boldsymbol{\theta }}_{{\omega }_{k}}}J({\boldsymbol{\theta }}_{{\omega }_{k}}) $,这其中的关键在于选择合适的损失函数$ J({\boldsymbol{\theta }}_{{\omega }_{k}}) $。概率神经网络训练的目标是寻找一组最优参数$ {\boldsymbol{\theta }}_{{\omega }_{k}}^{\mathrm{*}} $使网络输出的正态分布$ \mathcal{N}({\hat{\mu }}_{2,{\omega }_{k}}^{j},{\hat{\sigma }}_{2,{\omega }_{k}}^{j}) $与目标样本$ {\hat{x}}_{2,{\omega }_{k}}^{j} $分布之间的相似性最大化。本文通过最大似然估计法来“监督”概率神经网络输出最优的正态分布参数$\, {\hat{\mu }}_{2,{\omega }_{k}}^{j} $$\, {\hat{\mu }}_{2,{\omega }_{k}}^{j} $,从而使得似然函数$ {p}_{{\omega }_{k}}^{j} $取得最大值,最终概率神经网络的损失函数$ J({\boldsymbol{\theta }}_{{\omega }_{k}}) $定义为

      $$ \left\{\begin{array}{l}{p}_{{\omega }_{k}}^{j}=\dfrac{1}{\sqrt{2{\text{π} }}{\hat{\sigma }}_{2,{\omega }_{k}}^{j}}\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left[{\text -}\dfrac{1}{2}{\left(\dfrac{{\hat{x}}_{2,{\omega }_{k}}^{j}-{\hat{\mu }}_{2,{\omega }_{k}}^{j}}{{\hat{\sigma }}_{2,{\omega }_{k}}^{j}}\right)}^{2}\right]\\ J\left({\boldsymbol{\theta }}_{{\omega }_{k}}\right)=\dfrac{1}{J\left({\boldsymbol{\theta }}_{{\omega }_{k}}^{0}\right)}\dfrac{1}{n}\sum\limits_{j=1}^{n}{\text -}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\left({p}_{{\omega }_{k}}^{j}\right)\end{array}\right.\text{,} $$ (10)

      式中:$ {\boldsymbol{\theta }}_{{\omega }_{k}}^{0} $为概率神经网络的初始参数;$ 1/J({\boldsymbol{\theta }}_{{\omega }_{k}}^{0}) $为损失函数的权重系数,通过将损失函数进行归一化处理,可以保证神经网络训练的稳定性。概率神经网络参数的更新通过梯度下降算法Adam[17]完成。本文使用的概率神经网络具有1个隐藏层,64个神经元;训练过程中采用训练早停正则化技巧,可有效避免概率神经网络的过拟合问题。

    • 在混响室中对两种边界条件下的仪器舱结构开展系统级噪声试验。用弹性绳将仪器舱悬挂在混响室中心位置,两种边界的差异在于有/无端盖,本文将无端盖状态下(边界I)的仪器舱假定为地面试验状态,即系统I;将有端盖状态下(边界II)的仪器舱假定为实际飞行状态,即系统II。有/无端盖对仪器舱结构动力学特性的影响体现在质量效应和刚度效应两方面。整个仪器舱完全暴露在噪声环境中,为了形成封闭的空腔,将无端盖状态下仪器舱的顶部用橡胶垫密封(橡胶垫的质量和刚度相对于金属端盖可以忽略不计),以避免噪声直接作用在仪器舱内部,与有端盖状态下的噪声作用位置尽可能保证一致。

      噪声试验条件为梯形载荷谱,试验频率为50~10 000 Hz。本文考虑140 dB和150 dB两种总声压级,采用多点平均和1/3倍频程控制技术进行声压级控制。如图2所示,在仪器舱周边布置8个声传感器(编号#1~#8,间隔45°均匀分布)来获取仪器舱外表面的声压数据。在仪器舱外表面周向均匀划分24条母线(编号从A到X),从最小直径到最大直径方向均匀划分6条环线(编号1~6)。仪器舱结构外表面布置32个加速度传感器,用来测量结构在噪声激励下的振动响应,每个测点的编号规则为“母线编号”+“环线编号”。在140 dB和150 dB总声压级下各进行40 s试验,记录所有8个声传感器和32个加速度传感器的时域数据,采样频率设置为25 600 Hz。

      图  2  仪器舱噪声试验传感器布置示意

      Figure 2.  Arrangement of sensors for instrument cabin noise test

    • 受试验成本的限制,仪器舱混响室噪声试验只开展了2个声压量级(140 dB和150 dB)的试验,相当于仅有2个样本,因此需要采取一定的方法来解决样本数量少的问题。而且,由于试验中采集的一手数据是时域数据,而PNN方法使用的前提是将时域数据转化为频域数据,因此希望在时频转化的预处理过程中对样本数量进行扩充,本文将这一过程称为样本增强。可以进行样本增强的关键前提是实测的时域噪声载荷呈弱非平稳性。将40 s的噪声载荷数据均匀分为20段,每段2 s时长,计算各段信号的均值和标准差,发现噪声载荷在不同频段处能量均具有一定波动性,最大处标准差达到5 dB。因此,有理由认为不同时间段的噪声载荷存在一定的差异性,故考虑将40 s的时域数据分割成多段后再进行时频转换,从而增加样本的数量。

      本文采用滑窗样本增强的方法来扩充学习样本数量,1个长度为$ {l}_{\text{t}} $的时间序列经过滑窗样本增强后可以扩充为$ {N} $个长度为$ {l}_{\text{wd}} $的时间序列,N=$ \left\lfloor({l}_{\text{t}}-{l}_{\text{op}})/({l}_{\text{wd}}-{l}_{\text{op}})\right\rfloor $,其中,$ {l}_{\text{wd}} $为窗长度,$ {l}_{\text{op}} $为相邻窗之间的重叠长度。将每次测量前30 s的加速度响应数据用于训练,后10 s的加速度响应数据用于测试;并设采样频率$ {f}_{\text{s}} $=25 600 Hz,窗长度$ {l}_{\text{wd}} $=5$ {f}_{\text{s}} $,重叠长度$ {l}_{\text{op}} $=4$ {f}_{\text{s}} $。经过滑窗样本增强后,最终训练集样本数量为52组,测试集样本数量为12组。响应映射预示频率分辨率按照噪声试验中使用的1/3倍频程进行设置,故${l}_{\text{f}} $=24。

    • 采用无端盖仪器舱所有测点的响应数据来预示有端盖仪器舱所有测点的响应,即n=32。24个概率神经网络训练完成后,从测试集中取出测点O1处的2组数据,对应的噪声载荷量级分别为140 dB和150 dB,PNN方法的响应预示结果如图3所示,图中对比了PNN方法的 $ {\hat{\boldsymbol{\mu }}}_{2}^{j}\pm {\hat{\boldsymbol{\sigma }}}_{2}^{j} $以及直接法的预示结果$ {\hat{\boldsymbol{x}}}_{1}^{j} $与真实值$ {\hat{\boldsymbol{x}}}_{2}^{j} $的差异。本文所谓的直接法是将系统I的响应直接视为系统II的响应。

      图  3  不同噪声载荷量级下PNN方法响应预示结果

      Figure 3.  Response prediction results by PNN method under different noise load levels

      比较不同频段中直接法和PNN方法预示结果的均方误差,如表1所示:在全频段(45~11 220 Hz)中,直接法在2个噪声载荷量级下的均方误差分别为261.9%和82.2%,而PNN方法的分别为1.2%和1.8%,说明PNN方法可以大幅度提高响应预示的精度,较直接法具有非常明显的优势。直接法的均方误差较大主要表现在其对低频段(45~560 Hz)响应预示精度较差,在125 Hz频段预示结果偏低达14 dB,在200 Hz频段预示结果偏高近9 dB。造成这一现象的原因是低频段仪器舱结构模态分布较为稀疏,边界条件的改变对低频模态的影响更大,进而导致响应差异性在低频段更为显著。在中频段(560~3550 Hz)和高频段(3550~11 220 Hz)结构模态变得密集,再加上频段宽度增大,直接法的预示精度有所改善。虽然直接法在整个中高频段基本上可以满足航天工程要求的±3 dB(≈29%)误差指标,但是预示的精细化程度较PNN方法仍然有非常大的差距。通过上述分析看出边界条件对仪器舱结构动力学特性的影响规律非常复杂,采用直接法无法保证预示结果的准确性,虽然可以利用专家经验对直接法预示结果进行修正,但在面对不同结构和不同边界条件时专家经验不具有普适性。而PNN方法可以很好地避免这一问题,在不同载荷量级、全频段均具有良好的响应预示精度。考虑到结构加速度响应在不同频段存在量级差异,本文进一步通过绝对误差来比较2种方法的预示精度,具体结果如表1所示。可以看出150 dB噪声载荷量级下,560~3550 Hz频段内直接法的绝对误差为5.10 g2·Hz-1,而PNN方法仅有0.56 g2·Hz-1。总体而言,无论是不同频段还是全频段,PNN方法的绝对误差较直接法至少降低80%,这再次说明PNN方法具有优异的响应预示精度。

      表 1  直接法和PNN方法在不同频段的误差对比

      Table 1.  Error comparison between the direct method and PNN method in different frequency bands

      频率/Hz相对误差/%
      直接法PNN方法
      140 dB量级150 dB量级140 dB量级150 dB量级
      45560537.3162.82.13.7
      560355029.821.20.50.2
      355011 22027.12.60.090.06
      4511 220261.982.21.21.8
      频率/Hz绝对误差/(g2·Hz-1)
      直接法PNN方法
      140 dB量级150 dB量级140 dB量级150 dB量级
      455600.261.600.016 ($ \downarrow $94%)0.29 ($ \downarrow $82%)
      56035500.505.100.085 ($ \downarrow $83%)0.56 ($ \downarrow $89%)
      355011 2200.0210.100.0014 ($ \downarrow $93%)0.014 ($ \downarrow $86%)
      4511 2200.292.460.036 ($ \downarrow $88%)0.32 ($ \downarrow $87%)

      除了优异的响应预示精度,PNN方法还可以根据给出的标准差来进一步判断预示结果的可信度。通过分析图3中的标准差数据发现,中心频率50 Hz、63 Hz和80 Hz频段处,PNN方法预示的标准差基本上在1~2 dB之间,其余频段的标准差不超过0.5 dB。标准差越大意味着预示结果的可信度越低,因此如果采纳标准差较大频段处的预示结果,必须要考虑更大的不确定性,从而确保预示结果能够覆盖真实值。以140 dB载荷噪声量级下的预示结果为例,考虑95%的置信区间,中心频率80 Hz频段的预示结果为[-19.6 dB,-11.4 dB],真实值为-16.7 dB;中心频率1250 Hz频段的预示结果为[25.1 dB,26.3 dB],真实值为26.2 dB。标准差结合置信度给出的预示结果可以更好地覆盖真实值,如果没有标准差的辅助,则无法判断预示结果的不确定性和可信度,这充分展示了PNN方法良好的可靠性和工程实用性。

    • 图4为仪器舱测点O1处加速度响应的PSD曲线,可以看出无论是无端盖状态还是有端盖状态,140 dB与150 dB噪声激励下频域响应之间没有明显的线性关系,这一现象在中低频段表现尤为明显。考虑到混响室中不同位置处噪声载荷量级控制相对均匀,再加上结构一般具有滤波特性,图4中的这种差异性只能源于仪器舱结构的非线性。以中心频率630 Hz频段为例,无端盖状态下8个声测点处不同量级载荷的差异为3.0~3.3倍,而响应的差异为6.7倍;有端盖状态下载荷的差异为2.7~3.0倍,而响应的差异高达11.5倍。本文还比较和分析了其他31个测点处的响应数据,结果表明仪器舱结构在很多位置处存在一定程度的非线性,且不同位置处非线性的表现形式不同。此外,本文还利用仪器舱结构的数学模型开展了响应计算分析,结果表明线性结构并不会呈现如此复杂的特性。上述试验结果与计算分析共同表明仪器舱这类复杂的系统级航天工程结构具有一定程度的非线性。

      图  4  仪器舱结构非线性动力学特性

      Figure 4.  Nonlinear dynamic characteristics of the instrument cabin

      为进一步比较直接法、矩阵映射法和PNN方法的响应预示精度,计算所有12个测试样本之32个测点,共计384个数据的均方误差、绝对误差的均值和标准差,结果如表2所示。通过表中的数据可以看出,PNN方法的预示精度明显优于矩阵映射法,但两者较直接法均具有明显的优势。矩阵映射法的误差大于PNN方法,这主要是因为响应数据在某些位置、某些频段处存在着一定的非线性,而线性变换无法建立两者的映射关系,使得矩阵映射法预示结果的误差和不稳定性大大增加。因此,当响应数据中存在非线性因素时,本文提出的PNN方法较矩阵映射法更具应用优势。

      表 2  三种方法的响应预示精度对比

      Table 2.  Comparison of response prediction accuracy among three methods

      方法均方误差/%绝对误差/(g2·Hz-1)
      直接法979.3 ± 3516.64.2 ± 5.4
      矩阵映射方法22.3 ± 128.21.6 ± 2.0
      PNN方法2.7 ± 3.30.9 ± 1.2
    • 考虑到结构非线性动力学特性和响应数据中蕴含的不确定性,本文提出一种基于概率神经网络的响应映射预示方法,并通过某型飞行器仪器舱混响室噪声试验对所提方法进行了验证。

      首先,以线性结构为例,推导分布载荷作用下飞行器结构在不同边界下频域响应之间的内在关系。这一关系也同样适用于非线性结构,为天地响应映射预示方法提供了理论基础;而且映射预示方法中响应测点的选择不受载荷源数量的限制,在分布载荷场景下具有良好的工程实用性。

      继而应用本文提出的PNN方法进行试验验证,针对某飞行器仪器舱的噪声响应预示结果表明,PNN方法在不同载荷量级、全频段均具有良好的预示精度:在频率范围45~11 220 Hz内,140 dB和150 dB噪声激励下,PNN方法预示结果较直接法预示结果的相对误差可降低1~2个数量级,绝对误差至少可降低80%;通过分析混响室噪声激励下仪器舱结构的非线性动力学特性发现,PNN方法较矩阵映射法具有更高的预示精度:在32个测点处的均方误差可降低1个数量级,绝对误差可降低50%左右。

参考文献 (17)

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